他虽然生活在贫困中，但他的数学才华却是那么耀眼，让人难以忽视。从奥斯陆的一所天主教学校到克里斯蒂安尼亚大学，他的学习之路充满了挑战和成就。在那里，他不仅了解了当时的名数学家的理论，而且能够找出他们一些微小的漏洞。
但阿贝尔并非一帆风顺。他面临着家庭责任，父亲去世后，全家七口人的重担突然落到了他的肩上。尽管如此，他仍然通过霍姆彪的补助进入了大学，并且在那里几乎全是自学，同时花大量时间作研究。
1823年，当阿贝尔发表了第一篇论文后，他的朋友便力请挪威政府资助他到德国及法国进修。当等待政府回复时，在1824年他发表了《一元五次方程没有代数一般解》的论文，可望为他带来肯定地位。他把论文寄给当时有名的数学家高斯，可惜高斯错过了这篇论，也不知道这个著名的代数难题已被解破。
随后，阿贝尔遇到了克列尔，这个土木工程师兼热心数学爱好者，他们成了很要好的朋友。克列尔创立了一份纯数学和应用数学杂志，将阿贝尔在五次方程工作成果刊登于其中。此外，在欧洲不同的地方，新的友谊使得他的研究继续独立进行。
然而，不幸的是，在巴黎期间，他染上了肺结核病，并最终返回挪威。但即便身处穷困与疾病之中，阿贝尔回应对科学仍旧坚定不移。在此阶段，他写下大量关于方程理论、椭圆函数以及其他领域的问题解决方案。这段时间内，人们开始认识到他的价值，但遗憾的是，当时还未能为他提供合适的地位或荣誉。
直至去世前夕，一些知名科学院院士才开始意识到其价值，并致函挪威国王请求为其提供一个合适的地位。不过，由于迟疑，最终还是太晚了一步。虽然如此，在去世之后，荣誉和褒奖接踵而来，其中包括1830年的法国科学院大奖，与卡尔·雅可比共同获得。
阿贝尔留下的思想影响深远，如椭圆函数论、超越函数等方面都有显著贡献，而这些成果使得分析学严格化成为可能。他与雅可比一起奠定了椭圆函数论基础，被公认为该领域的一位重要先驱。而埃爾米特曾评价说：“如果我不是已经知道它，那么我会以为这是未来150年才会出现的事。”
总之，即便是在生命短暂且充满挑战的情况下，尼爾斯·海因里奇·亞伯爾依然留下了一笔宝贵财富——那就是对现代數學不可或缺的人类智慧贡献。不仅如此，這些貢獻直至今天仍在激励新一代數學家的探索與創新。