调和的思想也可说贯穿了古代数学直到近代数学的发展。数学的美，使我们与大自然更为接近，大自然的美开阔了我们的胸襟，加深了我们的视野。 (作者：丘成桐，美籍华人，哈佛大学终身教授，国际知名数学家) 调和的思想也可说贯穿了古代数学直到近代数学的发展。数学的美，使我们与大自然更为接近，大自然的美开阔了我们的胸襟，加深了我们的视野。 下面讲讲古希腊人的精神。也是从我父亲的一本书里所引，我父亲是个哲学家(编者注：丘成桐父亲名丘镇英)。英国一个出名的作者叫狄更逊(Dickinson)在其所著《希腊人的人生观》(TheGreek View of Life)中说：调和呦!就在这一字的意义上，我们可以有办法解说希腊文明的主要观念。 希腊人视美与善，身与心，个人与国家、神与人为调和统一的。 1、美与善之调和 柏拉图在《理想国》中讲：“美术家能洞鉴美与善之真性，发挥之于技术，使吾伎之青年，身之所居，目之所见，耳之所闻，无一而非善，而善之真际，即同时流露于其身目，有如清风之来自蓬莱，人之灵魂与同情之美，于不知不觉之间。” 2、身与心之调和 希腊大家伯里克理斯(Pericles)讲：“我们是美之爱好者，但我们的趣味是淡雅的，我们陶冶心灵，但我们也不失却丈夫气。” 柏拉图在《理想国》中以体育和音乐为教育之基。前者是养身，后者是修心，可见注重身心调和。 3、个人与国家的调和 亚里士多德说“国家系相同的人们，求达可能的最善生活的一种组合。”所以希腊人绝不能逃避对国家应尽的义务，但也要个人的自由，个人与国家在一定分限上调和无间。 4、神与人的调和 希腊人认为神是美丽而人性的生物。男神是雄伟的美男子，女神是纯洁的美女子。你可以讲它是宗教，其实不是宗教，这是希腊人的理想，假借众神来表现。 调和的思想也可说贯穿了古代数学直到近代数学的发展。数学的美，使我们与大自然更为接近，大自然的美开阔了我们的胸襟，加深了我们的视野。也正由于这个原因，从宇宙的起源，星球的运行，原子的结构，一直到山水人物的绘画都有许多几何学家参与其中，进行研究，做出了基本的贡献。 远古的时候，无论埃及人、巴比伦人、印度人和中国人都对历法有浓厚的兴趣。这些关于星体运行的学问，自然牵涉到几何学。事实上，古希腊人早已知道如何量度地球的半径和地球到太阳的距离。 古代中国人对地图的制作有重要贡献，刘安在《淮南子》中也讨论了如何计算地日的距离，可见古人一方面好奇，一方面由实际需要来发展几何，传说中国同余定理的发现始于历法的计算。 而希腊天文学家西帕恰斯发明正弦的概念来测量星体的运行;托勒密则造弦表，以后阿拉伯和印度数学家将三角发展出来，可见天文学对数学的影响。 现在回头再讲数学、几何学，从古希腊想法发展出来的结果，对毕达哥拉斯学派来讲，万物皆数，第一个他发现音乐可以用数字来解释，这个学问表面上跟几何学毫无关系，但到19世纪，傅里叶对波动力学开始研究后，谱分析逐渐在几何学生根，任何一个图形都有它的谱，这些谱的研究已经成为几何学的主流。 是怎么产生的呢?举一个例子来讲，我们设想几何图形由一片薄膜做成，比如鼓，可以是用任何几何图形做成的鼓，击打这个鼓，会发出不同的声音，这个声音用谱来分析，可以推测鼓的形状，这是一个重要的问题。也可以看出几何与音乐的关系，从几何图形产生的音乐，我们可以推导出几何图形是怎样的。 音乐的美由耳朵来感受，几何的美由眼睛来感受。美丽的音乐与图形都有调和的意义，这是刚才希腊人的调和之意。这种调和的意思可以用数学来定义，举个例子，我们固定两端的琴弦，弹奏时会形成很多不同的波，这些波由基本的正弦函数组成，如弦长为L，这些函数可写成sin(nx/l)，这是个很漂亮的函数，有调和的意思在里边。 什么叫调和函数?调和函数的定义是这样子，它定义于空间，并满足于一个重要性质，即它在每个点上的值等于它在环绕这点上球的平均值。这些函数有着“中道”的性质，这与希腊哲学中所追求的中道和儒家的中庸有着共同的意思。所以调和函数是一个很美妙的函数，每点的值是一个平均值，不多也不少。 函数跟我们讲的基本波有很多共同的东西。击鼓时，鼓的振动由基本波组成，这些基本波的描述与上述的调和函数极为相似，也许这就是音乐和美术有共通之处的原因。 有趣的是，这些基本波都有物理意义。这些波都有能量，在一定的条件下，音乐的基本波具有最少的能量。这是物理和几何学中基本的原则：物质的状态，总是在具有最低能量时最稳定。这是个基本的看法，影响了物理学、几何学、数学几百年。 我们喜欢最低能量的状态，正如一般人所讲“水向低流”，因为向下流它的位能是最低的。在社会给定的条件下，人的达到最低时可说是“至善”的一个判断防范，所以清心寡欲是一个调和的概念，因此美与善可以调和，数学家喜欢平静与天真。我的老师陈省身如此，二十世纪伟大的法国几何学家E.Carton也说：“在听数学大师演说数学时，我感到一片的平静和有着纯真的喜悦。这种感觉大概就如贝多芬在作曲时让音乐在他灵魂深处表现出来一样。” 几何学里还有一个重要的概念就是对称，对称的概念影响了数学几百年，也影响到整个物理学界几百年。对称是调和观念的另一种表现，希腊人喜欢柏拉图多面体，就是因为他们具有极好的对称性，他们甚至将其与宇宙的五个元素联系起来：火—正四面体;土—正六面体;气—正八面体;水—正十二面体;正十二面体代表第五元素，是宇宙的基本要素。 这种解释大自然的方法虽然并不成功，但是对称的观念却由始至终地左右着物理学的发展，并终于演化成群的观念。从伽罗华开始，到SophisLie,Klein,和Carton诸位大师的手上，对称群在几何学生的威力展露无遗，成为现代几何与现代物理的支柱。 在我国传统《易经》中，阴阳的观念至关重要。从数学来讲，这种对偶在古代数学中早已出现，例如Apollonius和Pappus研究pole和polar，以后射影几何学家研究点和平面的对偶关系等，流风所被，直至近代拓扑学和代数学中对偶理论皆有辉煌的发展。 近三十年来，所谓镜对称的概念出现在描述宇宙结构的弦论中，至大的空间和至小的空间，至强的理论与至弱的理论有着相同的结构。在对偶理论里，大的空间跟最小的空间，是对偶，是互相影响对方的;强的理论跟弱的理论也有相同的对偶性，这是一个很奇怪的现象，在数学上是可以证明的，只是到目前为止还没办法证明。假如弦论能由试验证明，道家的阴阳或可由数学观念来解释。 古希腊人崇拜雄伟的男神与美丽的女神，也可以看做是刚柔的对偶，刚柔互济，发展出来的几何学也是多姿多彩的。文艺复兴的时候，很多艺术家想将景物有深度感觉滴表现在画布上，他们发觉这个问题与射影几何有很重要的关系。 布鲁涅内斯基得到一些成果，在研究透视学上，非阿尔贝蒂写了两本书，研究不同的屏幕映像的关系，圆锥截痕跟对偶原则得到更深入的研究，由此可见绘画艺术对几何的影响。我十多年前看过一本书，是康熙雍正年间大将军年羹尧的哥哥写的一本关于透视几何的书，可见雍正年间也注意到用几何学来研究怎么画画。 投影几何对整个数学有很大的影响，奥斯几何跟很多几何研究距离、长度的问题，到了投影几何，我们不研究距离，因为将一个三维的图投射到二维花布上时，量不出其长度，而开始研究线和线的相交或线和面的相交，对偶观念由此产生。投影几何在十九世纪成为主流的学问。 接着我们来讲一个伟大的数学家，也是个伟大的物理学家，他叫HermanWeyl，他是20世纪前50年最伟大的数学家，也爱物理，几个重要的物理方程是他发明的。他说：假如要我在大自然的真实与数学的美之间做选择，我宁愿选择数学的美。很幸运的是，自然界的真理往往是极为美妙的。所以从数学的美选择出来的方程、选择出来的图形，往往能够解释大自然里的真理。 普林斯顿高等研究所，我曾经在那里教过五年书，爱因斯坦也曾在那里工作过30年。它的徽章是真和美，左手是的女神，右手边是穿着衣服的女神。“真”是一个赤裸裸的女神;“美”是漂亮的、穿着衣服的女神。无论文学家、美术家、音乐家、数学家、物理学家都在不断发掘美的意义，和如何去表达大自然众生诱导出的美，者是很重要的事情。 责编：童心竹
